ONDALIK SAYILAR,matematik

ONDALIK SAYILAR. "Ondalık" sözcüğü, "on tabanına dayalı" anlamına gelir. Sayıları yazmak için kullandığımız sistem de, on tabanına dayalı olan onlu sayı sistemidir. Pek çok ülkenin para sistemi on tabanına dayalı­dır; bu tür para sistemlerine onlu para sistemi denir. Ölçümde kullanılan metre sistemi de bir onlu sistemdir.

Ondalık sayılar ise, ondalık kesirlerin ras­yonel sayı biçimindeki açılımlarıdır. Bilindiği gibi ondalık kesirler, paydası 10 ve 10'un katları olan kesirlerdir. Ondalık sayı biçimin­de yazılan kesirler de, doğal sayılar için kullanılan onlu sayı sistemi içinde yer alır.

Onlu sayı sistemindeki herhangi bir doğal sayı çeşitli basamaklardan oluşur. Örnek ola­rak 222 sayısını alalım:

Birler basamağından sola doğru gidildikçe, sayılar her basamakta 10 kat büyür. Birler basamağından sonra onlar basamağı gelir. Bu aynı zamanda, soldan (örneğin yüzler basa­mağından) sağa doğru gidildikçe, sayıların her basamakta 10 kat küçüleceği, yani 10'a bölünmüş olacağı anlamına da gelir. Böylece yüzler basamağından onlar basamağına, onlar basamağından birler basamağına geçilir. Ama birler basamağında durmamıza hiç gerek yok­tur. Sayıyı bir kez daha ona bölersek onda birler'i elde ederiz.

Doğal sayılardan kesirlere geçtiğimizi gös­termek için, ikisini ayıracak bir işarete gerek­sinmemiz vardır. Bu işarete ondalık işareti denir. İngiltere ve ABD gibi ülkelerle bütün hesap makinelerinde kullanılan ondalık işare­ti cümle birimlerindeki gibi bir noktadır. Öbür ülkelerin çoğunda ve Türkiye'de ise virgül kullanılır (örneğin kırk dört tam onda dört sayısı 44,4 biçiminde gösterilir). Bu ansiklopedide de ondalık işareti olarak virgül kullanılmıştır.

Sağa doğru her geçişte basamak değeri 10'a bölünür. Onda birlerden sonra yüzde birler, daha sonra binde birler gelir ve bu böylece sürer gider.

Aşağıda verilen çok daha büyük bir sayıda bütün basamakların adları rakamların altına yazılmıştır.

10 100 1.000

Demek ki, örneğin 0,625 ondalık kesrinde 6 onda bir, 2 yüzde bir ve 5 binde bir vardır. Eğer bu ondalık kesri bir bayağı kesir biçi­minde yazmak istersek, sayılan ondalıkları toplamamız gerekir.

= 2 + A ₊5 50 200

200 200 200

₌ 125 200

₌ 5 8

Bu, ondalık kesri bayağı kesre çevirmenin bir yoludur, ama en iyisi değildir. Daha basit bir yöntem vardır: 625.000'i 625 bin ve 625.000.000'u 625 milyon biçiminde okuyabi­liriz. Aynı biçimde, 0,625'i de binde 625 olarak okuyabiliriz.

0,625 = binde 625 _ 625

1.000

Bunu sadeleştirirsek, gene ⁵/s sonucunu buluruz.

biçiminde yazar

Bu ikinci yönteme göre 0,0375 ondalık kesrini bayağı kesre çevirmek istersek, bunu

375

on binde 375, yani

10.000 ve sadeleştiririz.

Bayağı kesirleri ondalık kesirlere çevirmek için de bu yöntemin tersini uygulayabilirdik; ama bu her zaman o kadar kolay değildir. Örneğin, ^[1]A kesrini ele alalım. Önce bunun, onda, yüzde, binde gibi, paydasında 10'un herhangi bir katının yer aldığı bir eşdeğer kesrini bulmamız gerekir. Bazı kesirlerin bu koşulu sağlayan eşdeğerlerini hemen kestire­bilirsiniz. Ama bazıları için, bunu buluncaya değin uzun bir eşdeğer kesirler listesi çıkar­mak zorunda kalabilirsiniz.

söyleyebilirsiniz; 100, 4'ün kaç katıysa, onun­la da 3'ü çarpıp ³A bayağı kesrini ondalık kesir olarak yazabilirsiniz:

75 100

= 0,75

Bu yöntem bazı bayağı kesirlerde işe yara­yabilir, ama bazıları için hiçbir işe yaramaz. Örneğin, ^l/3 için kullanılamaz; çünkü 10, 100, 1.000 gibi 10'un hiçbir katı 3'e tam olarak bölünmez. Bu tür sayılarla karşılaşıldığında ancak yaklaşık bir sonuç elde edilir:

1 _3Vfr_33V&_ 333% 3 10 100 1.000

ve bu böylece sürer gider. Demek ki , yak­laşık olarak 0,3 ya da 0,33 ya da 0,333 biçi­minde yazılabilir. Eğer 3'lerin eklenmesi sür- dürülürse, giderek doğru sonuca yaklaşılır.

Bu tür problemlerde bayağı kesri ondalık kesre çevirmek için daha kolay bir başka yöntemden yararlanılabilir. Bu yöntemde, ^'ün l'i 3'e bölmekle aynı anlama gelmesi olgusundan yararlanılır.

V₃ = 1-3

Öyleyse bütün yapacağımız l'i 3'e bölmek ve sonucu ondalık sayı biçiminde yazmaktır.

1-3, l'den küçük olduğu için, bulacağımız sonucun birler basamağında da 0 olacaktır. Şimdi l'i 1,0 biçiminde yazıp onda 10 olarak okuyabiliriz

Ondalık sistemin üstünlüğü, hesap yapar­ken hangi basamakta olduğumuzu (onda bir­ler, yüzde birler, hatta milyonda birler de olsa) düşünmek zorunluluğunun bulunmama­sıdır. Yapmamız gereken yalnızca, her sefe­rinde elde kalan sayıyı alıp bir sonraki basa­mağa geçirmek ve 10 kat büyültmektir.

Yaptığımız bu hesaplama, "3, elde kalır l"in sonsuza dek yinelenip gideceğini göster­mektedir. Bu gibi durumlarda, bulunan sonuç söylenirken, "virgülden sonra gelen rakamın yinelendiği" belirtilir. Bu tür ondalık kesirle­re yinelenen ondalıklar denir. Ele aldığımız örnekte bunu göstermek için virgülden sonra gelen ilk 3 yazılır ve tepesine bir nokta konur.

0,3

MATEMATİK maddesinde de anlatıldığı gibi, bazen virgülden sonra gelen bir grup rakam yinelenip gider. Bu gibi durumlarda grubun ilk ve son rakamları üzerine birer nokta konur. Örneğin 3/14'ü ondalık kesre çevirirsek şöyle bir sonuç ortaya çıkar:

= 0,2142857142857142...

Burada 142857 grubu yinelenip gitmektedir; öyleyse sonucu

= 0,2142857

biçiminde yazabiliriz.

Uygulamada ölçümler ya da benzeri amaç­lar için ondalık kesirleri kullandığımızda, daha küçük basamakların değerini bilmemiz gerekmez. Eğer 3 metre uzunluğundaki bir tahta 14 parçaya bölünecekse, marangozun bizim bulduğumuz sonucu bilmesinin pratik hiçbir yararı yoktur; ³/n'ün yaklaşık olarak 0,214 ettiğini bilmek onun için yeterlidir; çünkü 0,214 metre 214 mm demektir. Özellik­le de, testerenin kesme genişliğinin en az 1 mm olduğunu düşünürseniz, marangozun da­ha duyarlı bir ölçüme gereksinimi olmadığı daha iyi anlaşılır. Ama ondalık sistemin üs­tünlüğü, sonucu, gereksinim duyduğunuz doğrulukta bulabilmenize olanak vermesidir.Matematikçilerin amacı her zaman pratik bir sonuca ulaşmak değildir; onun için, onda­lık kesirlerde virgül sonrasındaki yinelenmelerin nasıl bir kalıba uyduğunu bilmek ister ler. Şu örnekleri ele alalım:

i = 0,142857

| = 0,285714

| = 0,428571

l'den 6'ya kadar olan sayıların 7'ye bölümün­de hep aynı rakam grubu ortaya çıkar. Yine­lenen her grupta altı rakamın olması yalnızca bir rastlantı değildir!

13'e bölmede de buna benzer yinelenmeler görülür.

-75-= 0,076923 lo

Başka bazı sayılar da 13'e bölündüğünde, çıkan sonuçlar aynı rakam grubunu içerir; ama yinelenen grup her seferinde farklı bir rakamla başlar. Hesap makinenizi kullanarak siz de l'den 12'ye kadar olan sayıların 13'e bölümünde nasıl bir yinelenme kalıbı ortaya çıktığını bulabilirsiniz.

MATEMATİK maddesinde Vfeı'in eşdeğeri olan ondalık kesirde yinelenen rakam sayısı­nın 60 olduğu gösterilmiştir. Hesap makinele­rinin pek çoğu sayıların en çok 8 basamağını gösterir; bu yüzden, yinelenen gruptaki ra­kam sayısı bundan çok olduğunda grubu tek bir hesaplamada bulmak olanaksızlaşır. Ama gene de bu tür ondalık kesirlerin bulunmasın­da hesap makinelerinden yararlanılabilir.

O'NEILL, Eugene (1888-1953). ABD'li oyun yazarı Eugene O'Neill, Amerikan tiyatrosu­nun gelişmesine katkıda bulunmuş en önemli yazarlardan biridir. 1936'da Nobel Edebiyat Ödülü'nü kazanan yazara dört kez de Pulitzer Ödülü verilmiştir.

Ünlü aktör James O'Neill'in oğlu olan Eugene O'Neill, New York'ta doğdu. Bir yıl Ama bu uzun bir zaman alır. Belki burada, 4'ün tam katlarından birinin 100 olduğunu hemen görerek paydaya 100 yazılabileceğini okuduktan sonra üniversiteden ayrıldı. Genç yaşta altın aramak için Honduras'a gitti. Gemilerde çalışarak Buenos Aires'e giden O'Neill daha sonra Güney Afrika ülkelerini dolaştı.

Vereme yakalandıktan sonra oyun yazma­ya başladı. Tanık olduğu aile içi çatışmalar ve toplum dışı yaşamın kazandırdığı deneyimler yazdığı oyunlara esin kaynağı oldu. Yoğun insan tutkularının işlendiği oyunlarından Be- yond îhe Horizon (1920; "Ufkun Ötesinde"),

Anna Christie (1922), Araya Giren Garip Oyun (Strange Inîerlude; 1928) ve Günden Geceye (Long D ay's Journey into Night\ 1956) ile Pulitzer Ödülü'nü kazandı. O'Neill' in beğenilen öbür oyunları arasında, Yunan trajedilerinden etkilenerek yazdığı Karaağaç­lar Altında (Desire under the Elms\ 1925), Elektra'ya Yas Yaraşır (Mourning Becomes Elektra; 1931) ve insanın daha iyi bir yaşam için umuda sarılışını anlatan Buzcu Geliyor (The Iceman Cometh; 1946) sayılabilir.

---