OLASILIK KURAMI

OLASILIK KURAMI. Matematikte olasılık, herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı, yani bir olaya hangi sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik derecesinin ölçüsüdür. Olasılık kuramını iki Fransız matematikçi, Pierre Fermat (1601-65) ve Blaise Pascal (1623-62) ortaya koymuştur.

Havaya bir madeni para atacak olursanız ya yazı ya da tura gelebilir. Her ikisi için de şans eşittir; bir başka deyişle, yazı gelme şansı ne kadarsa, tura gelme şansı da o kadardır. Demek ki, burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri tura gelme olasılığıdır ve bu olasılık 2'de Tdir ya da bir başka gösterim biçimiyle V dir.

Tek bir zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır. Altı, bu sayılardan yalnızca biridir ve ilk atışta gelme olasılığı 6'da 1 ya da aynı şey demek olan Vfc'dır.

52'lik bir oyun kâğıdı destesinden birli çekme olasılığı 52'de 4'tür (çünkü 52 kâğıt içinde dört adet birli vardır); bu da ⁴/52 biçiminde gösterilebilir. Bu kesri sadeleştirerek olasılığın Vi3 olduğunu da söyleyebiliriz.

Diyelim ki, üst üste iki kez para atışı yapıldı; bu iki atışta en az bir kez tura gelme olasılığı nedir? Burada karşılaşılabilecek du­rumlar sayılırken biraz daha dikkatli olmak gerekir. Örneğin, Fransız matematikçi Jean Le Rond d'Alembert (1717-83) üç farklı durumla karşılaşılabileceğini ileri sürme ya­nılgısına düşmüştü. D'Alembert'e göre, (i) ilk atışta tura gelebilirdi, (ii) ikinci atışta tura gelebilirdi, (iii) her iki atışta da tura gelmeye­bilirdi.

Bu üç durumdan ikisi turanın gelebilirliğini içerdiği için de olasılık 3'te 2 ya da bir başka gösterim biçimiyle %'tü. Oysa şekilde de görüldüğü gibi, karşılaşılabilecek dört durum vardır:

Bu dört durumdan üçünde en az bir tura olduğuna göre, en az bir kez tura gelme olasılığı ³/4'tür. Demek ki, bu deney 100 kez yinelense bunların kabaca 75'inde en az bir kez tura gelir.

Çift zar atılırsa altı-altı (düşeş) gelme olası­lığı nedir? Bu iki yoldan bulunabilir:

1. Her zarın gelebileceği altı konum vardır.

Birinci zarın gelebileceği altı konumun her biri, ikinci zarın gelebileceği altı konumun her biriyle birer kez eşleştirilir. Bu yapıldığında, ikinci şekilde de görüldüğü gibi ortaya 36 durum çıkar. Bunlardan yalnızca biri altı altıdır. Öyleyse olasılık 36'da l'dir ya da aynı şey demek olan w dır.

2. Birinci zarda altı gelme olasılığı Vfc'dır; ikincide altı gelme olasılığı da yine aynıdır. İki zarda birden altı gelme olasılığı bulunmak istendiğinde, her bir zar için geçerli olan olasılıklar birbiriyle çarpılır: 1/6X1/6=^6

Bu çarpma kuralı, birbirinden bağımsız iki olayın aynı ana rastlaması olasılığının kaçta kaç olduğunu bulmak için kullanılabilir. Di­yelim ki, bir oyun kâğıdı destesinden art arda iki kupa çekmek istiyoruz. Çekeceğimiz ilk kartın kupa olma olasılığı ¹³/52'dir ya da bir başka deyişle, oyun kâğıtlarının dörtte biri kupa olduğundan VVtür (her iki kesir eşdeğer­dedir). Ama ikinci kartı çekerken, geriye yalnızca 12 kupa ve toplam 51 kart kaldığı için, kupa gelme olasılığı ¹²/sı'dir. Her iki kartın birden kupa olması olasılığı ise, çarpma kuralı uygulanarak bulunabilir:

1/4x = ^,2/204 = %l = l/l7

Bu kesirleri ondalık sayılara çevirerek ola­sılıkları karşılaştırmak bazen daha kolay olur. Bir kupa çekme olasılığı,art arda iki kupa çekme olasılığı ise ¹/i7=0,0588 dolayındadır ve görüldüğü gibi ikincisi çok daha küçüktür. Çarpma kuralını kulla­narak, peş peşe 13 kupa çekme olasılığının kaçta kaç olduğunu da kolayca bulabiliriz:Bu yaklaşık olarak 0,0000000000015'e eşit­tir ve gerçekten çok düşük bir olasılığı gös­terir.

Bir şey olanaksızsa, buna rastlama olasılığı da O'dır. Örneğin iki zarla toplam 1 atma ya da bir canlının sonsuza değin yaşama olasılığı O'dır. Öte yandan bir şeyin olacağı kesinse, buna her zaman (6 durum varsa 6'sında da, 100 durum varsa 100'ünde de) rastlanacaktır; bu gibi durumlarda olasılık l'dir. Örneğin bir canlının bir gün ölme olasılığı l'dir. Demek ki, olanaksızlık ve kesinlik dışındaki bütün öbür olasılıklar 0 ile 1 arasında yer alır. Eğer bir şeyin olasılığı Vi'den ya da bunun eşdeğeri olan 0,5'ten büyükse, bu durum o olayın olma olasılığının, olmama olasılığından daha yük­sek olduğu anlamına gelir.

Olasılıkları gösterdiğimiz biçimde hesapla­mak her zaman olanaklı olmaz. Örneğin, doğacak bebeğin kız olma olasılığını kuramsal olarak bilemeyiz. Ama son birkaç yıldaki doğumları gözden geçirerek, doğan kız sayısı­nın erkek sayısından biraz daha düşük oldu­ğunu görür ve bebeğin kız olma olasılığının 0,5'in biraz altında olduğunu söyleyebiliriz. Benzer biçimde, art arda iki kez para atıldı­ğında en az bir kez tura gelmesi olasılığının kaçta kaç olduğunu, bu çifte atışları 100 kez yineleyip kaçında en az bir kez tura geldiğini saptayarak da bulabilir ve saptadığımız sayı 75'se, olasılığın yaklaşık ⁷⁵/ıoo (³A ya da 0,75) olduğunu söyleyebilirdik.

Benzer bir teknik örneklemede de kullanı­lır. Eğer bir gölde kaç tür balık yaşadığını ve bunların oranlarını öğrenmek isteseydik, bel­ki 100 balık tutar ve topladığımız bu örnekler içinde her türden kaç balık olduğunu sayabi­lirdik. Bu da bize göldeki değişik balıkların olası oranlarını verirdi. İzlediğimiz yöntemin ne ölçüde doğru sonuç verdiğini öğrenmek için olasılık kuramının daha ileri yöntemlerin­den de yararlanabilirdik.

Aynı yöntem kamuoyu yoklamalarında da kullanılır; Örneğin, örneklem olarak alınan 1.000 kişiye, siyasi partiler konusundaki dü­şünceleri ve hangi yönde oy kullanacakları sorulabilir. Bu yoklama ülke geneli için ol­dukça sağlıklı bir fikir verebilir.

Olasılık kuramı kumara ve şans oyunlarına olan ilgiyle başladı. Ünlü kumarbaz Chevalier de Mere bir gün Blaise Pascal'dan, bir oyun bitmeden önce durdurulmak zorunda kalınır­sa olası kazancın bölüştürülebilmesi için bir yöntem geliştirmesini istemişti.

Olasılık günümüzde istatistikte, kuram­sal fizikte, hava durumu tahminlerinde, mal­ların kalite kontrolünde ve sigortacılıkta da kullanılmaktadır. (Ansiklopedide İSTA­TİSTİK konusunda ayrı bir madde bulun­maktadır.)