OLASILIK KURAMI.
Matematikte olasılık, herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı,
yani bir olaya hangi sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik
derecesinin ölçüsüdür. Olasılık kuramını iki Fransız matematikçi, Pierre Fermat
(1601-65) ve Blaise Pascal (1623-62) ortaya koymuştur.
Havaya
bir madeni para atacak olursanız ya yazı ya da tura gelebilir. Her ikisi için
de şans eşittir; bir başka deyişle, yazı gelme şansı ne kadarsa, tura gelme
şansı da o kadardır. Demek ki, burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri
tura gelme olasılığıdır ve bu olasılık 2'de Tdir ya da bir başka gösterim
biçimiyle V dir.
Tek bir
zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır. Altı, bu sayılardan yalnızca
biridir ve ilk atışta gelme olasılığı 6'da 1 ya da aynı şey demek olan Vfc'dır.
52'lik
bir oyun kâğıdı destesinden birli çekme olasılığı 52'de 4'tür (çünkü 52 kâğıt
içinde dört adet birli vardır); bu da 4/52 biçiminde
gösterilebilir. Bu kesri sadeleştirerek olasılığın Vi3
olduğunu da söyleyebiliriz.
Diyelim
ki, üst üste iki kez para atışı yapıldı; bu iki atışta en az bir kez tura gelme
olasılığı nedir? Burada karşılaşılabilecek durumlar sayılırken biraz daha
dikkatli olmak gerekir. Örneğin, Fransız matematikçi Jean Le Rond d'Alembert
(1717-83) üç farklı durumla karşılaşılabileceğini ileri sürme yanılgısına
düşmüştü. D'Alembert'e göre, (i) ilk atışta tura gelebilirdi, (ii) ikinci
atışta tura gelebilirdi, (iii) her iki atışta da tura gelmeyebilirdi.
Bu üç
durumdan ikisi turanın gelebilirliğini içerdiği için de olasılık 3'te 2 ya da
bir başka gösterim biçimiyle %'tü. Oysa şekilde de görüldüğü gibi,
karşılaşılabilecek dört durum vardır:
Bu dört
durumdan üçünde en az bir tura olduğuna göre, en az bir kez tura gelme
olasılığı 3/4'tür. Demek ki, bu deney 100 kez yinelense bunların
kabaca 75'inde en az bir kez tura gelir.
Çift zar atılırsa altı-altı
(düşeş) gelme olasılığı nedir? Bu iki yoldan bulunabilir:
1. Her zarın gelebileceği
altı konum vardır.
Birinci zarın gelebileceği
altı konumun her biri, ikinci zarın gelebileceği altı konumun her biriyle birer
kez eşleştirilir. Bu yapıldığında, ikinci şekilde de görüldüğü gibi ortaya 36
durum çıkar. Bunlardan yalnızca biri altı altıdır. Öyleyse olasılık 36'da l'dir
ya da aynı şey demek olan w dır.
2.
Birinci zarda altı gelme olasılığı Vfc'dır; ikincide altı gelme olasılığı da yine
aynıdır. İki zarda birden altı gelme olasılığı bulunmak istendiğinde, her bir
zar için geçerli olan olasılıklar birbiriyle çarpılır: 1/6X1/6=^6
Bu çarpma
kuralı, birbirinden bağımsız iki olayın aynı ana rastlaması olasılığının kaçta
kaç olduğunu bulmak için kullanılabilir. Diyelim ki, bir oyun kâğıdı
destesinden art arda iki kupa çekmek istiyoruz. Çekeceğimiz ilk kartın kupa
olma olasılığı 13/52'dir
ya da bir başka deyişle, oyun kâğıtlarının dörtte biri kupa olduğundan VVtür
(her iki kesir eşdeğerdedir). Ama ikinci kartı çekerken, geriye yalnızca 12
kupa ve toplam 51 kart kaldığı için, kupa gelme olasılığı 12/sı'dir.
Her iki kartın birden kupa olması olasılığı ise, çarpma kuralı uygulanarak
bulunabilir:
1/4x = ,2/204 = %l = l/l7
Bu
kesirleri ondalık sayılara çevirerek olasılıkları karşılaştırmak bazen daha
kolay olur. Bir kupa çekme olasılığı,art arda iki kupa çekme olasılığı ise 1/i7=0,0588
dolayındadır ve görüldüğü gibi ikincisi çok daha küçüktür. Çarpma kuralını
kullanarak, peş peşe 13 kupa çekme olasılığının kaçta kaç olduğunu da kolayca
bulabiliriz:Bu yaklaşık olarak 0,0000000000015'e eşittir ve gerçekten çok
düşük bir olasılığı gösterir.
Bir şey
olanaksızsa, buna rastlama olasılığı da O'dır. Örneğin iki zarla toplam 1 atma
ya da bir canlının sonsuza değin yaşama olasılığı O'dır. Öte yandan bir şeyin
olacağı kesinse, buna her zaman (6 durum varsa 6'sında da, 100 durum varsa
100'ünde de) rastlanacaktır; bu gibi durumlarda olasılık l'dir. Örneğin bir
canlının bir gün ölme olasılığı l'dir. Demek ki, olanaksızlık ve kesinlik
dışındaki bütün öbür olasılıklar 0 ile 1 arasında yer alır. Eğer bir şeyin
olasılığı Vi'den ya da bunun eşdeğeri olan 0,5'ten büyükse, bu durum o olayın
olma olasılığının, olmama olasılığından daha yüksek olduğu anlamına gelir.
Olasılıkları
gösterdiğimiz biçimde hesaplamak her zaman olanaklı olmaz. Örneğin, doğacak
bebeğin kız olma olasılığını kuramsal olarak bilemeyiz. Ama son birkaç yıldaki
doğumları gözden geçirerek, doğan kız sayısının erkek sayısından biraz daha
düşük olduğunu görür ve bebeğin kız olma olasılığının 0,5'in biraz altında
olduğunu söyleyebiliriz. Benzer biçimde, art arda iki kez para atıldığında en
az bir kez tura gelmesi olasılığının kaçta kaç olduğunu, bu çifte atışları 100
kez yineleyip kaçında en az bir kez tura geldiğini saptayarak da bulabilir ve
saptadığımız sayı 75'se, olasılığın yaklaşık 75/ıoo (3A
ya da 0,75) olduğunu söyleyebilirdik.
Benzer
bir teknik örneklemede de kullanılır. Eğer bir gölde kaç tür balık yaşadığını
ve bunların oranlarını öğrenmek isteseydik, belki 100 balık tutar ve
topladığımız bu örnekler içinde her türden kaç balık olduğunu sayabilirdik. Bu
da bize göldeki değişik balıkların olası oranlarını verirdi. İzlediğimiz
yöntemin ne ölçüde doğru sonuç verdiğini öğrenmek için olasılık kuramının daha
ileri yöntemlerinden de yararlanabilirdik.
Aynı
yöntem kamuoyu yoklamalarında da kullanılır; Örneğin, örneklem olarak alınan
1.000 kişiye, siyasi partiler konusundaki düşünceleri ve hangi yönde oy
kullanacakları sorulabilir. Bu yoklama ülke geneli için oldukça sağlıklı bir
fikir verebilir.
Olasılık
kuramı kumara ve şans oyunlarına olan ilgiyle başladı. Ünlü kumarbaz Chevalier
de Mere bir gün Blaise Pascal'dan, bir oyun bitmeden önce durdurulmak zorunda
kalınırsa olası kazancın bölüştürülebilmesi için bir yöntem geliştirmesini
istemişti.
Olasılık
günümüzde istatistikte, kuramsal fizikte, hava durumu tahminlerinde, malların
kalite kontrolünde ve sigortacılıkta da kullanılmaktadır. (Ansiklopedide İSTATİSTİK
konusunda ayrı bir madde bulunmaktadır.)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder